О численном решении некоторых нелинейных эллиптических уравнений для тепловых приложений

Авторы

Черепанов В. В.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4

e-mail: vvcherepanov@yandex.ru

Аннотация

Дан краткий обзор основных свойств нелинейных дифференциальных уравнений с линейным и квазилинейным дифференциальным оператором эллиптического типа, а также их обобщений. Наиболее известным примером таких операторов является оператор Лапласа – Бельтрами, который входят в основные уравнения теории функций комплексного переменных, теории потенциала меры и электромагнитной волновой теории, физики плазмы и теории тепло- и массообмена, а также других важных приложений. Основной целью данной работы является решение задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа второго порядка в евклидовом пространстве, имеющего существенную нелинейность в источнике. Рассматриваются два локальных итерационных метода, обладающих сходимостью к решению нелинейной задачи при условии ограниченности функции источника: метод установления, который применим только в случае экспоненциальной нелинейности источника, и метод разбиения области задачи, который позволяет рассматривать произвольные физически приемлемые функции источников и основан на оценках, вытекающих из фундаментальных теорем.

Ключевые слова:

квазилинейные эллиптические операторы второго порядка, фундаментальные свойства, плазма, тепло- и массообмен, нелинейное уравнение Пуассона, принцип сжимающих отображений, итерационное решение

Библиографический список

1. Gilbarg D., Trudinger N.S. Elliptic partial differential equations of second order. 2nd Ed. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer–Verlag, 1983. 447 p.

2. Wermer J. Potential theory. Berlin, New York, 1974. 127 p.

3. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. 1. Functional analysis. Berlin, New York, London: Academic Press, 1972. 341 p.

4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики. Москва: Физматлит, 2005. 256 с.

5. Черепанов В.В. О моделировании тепловых возмущений, вносимых в разреженную плазму неподвижными каноническими телами // Тепловые процессы в технике. 2023. Т. 15. № 10. С. 448–455.

6. Алексеев Б.В., Котельников В.А., Черепанов В.В. Электростатический зонд в многокомпонентной плазме // Теплофизика высоких температур. 1984. Т. 22. № 2. С. 395–396.

7. Hockney R.G., Eastwood J.W. Computer simulation using particles. Bristol, Philadelphia: IOP (Institute of Physics) Publishing, 1988. 568 p.

8. John F. Plane waves and spherical means applied to a partial differential equations. New York: Interscience, 1955. 180 p.

9. Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1955. Vol. 8. P. 503–538.

10. Giraud G. Generalizations des problemes sur les operations du type elliptique // Bulletin de la Societe Mathematique de France. 1932. Vol. 56. P. 248–352. (In France).

11. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа // Математический сборник. 1938. Т. 4. С. 471–497.

12. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators // Transactions on the American Mathematical Society. 1944. Vоl. 55. P. 132–151.

13. Friedrichs K.O. On the differentiability of solutions of linear elliptic differential equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1953. Vol. 6. P. 299–326.

14. John F. Derivatives of continuous weak solutions of linear elliptic equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1953. Vol. 6. P. 327–335.

15. Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V. Extreme methods for solving ill – posed problems with applications to inverse heat problems. New York: Begell House, 1995. 292 p.